题目
如图,已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD面积为( )
A.
B. 8
C.
D. 8
A.
16 |
3 |
B. 8
C.
32 |
3 |
D. 8
3 |
提问时间:2021-12-13
答案
连结BD,可得四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CBD=
AB•ADsinA+
BC•CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆,∴A+C=180°,可得sinA=sinC.
S=
AB•ADsinA+
BC•CDsinC
=
(AB•AD+BC•CD)sinA=
(2×4+6×4)sinA=16sinA.…(*)
在△ABD中,由余弦定理可得
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,
同理可得:在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB•CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC,
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos(180°-A)=-cosA,得64cosA=-32,解得cosA=-
,
∵A∈(0°,180°),∴A=120°,
代入(*)式,可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8
故选:D
S=S△ABD+S△CBD=
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∵四边形ABCD内接于圆,∴A+C=180°,可得sinA=sinC.
S=
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在△ABD中,由余弦定理可得
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,
同理可得:在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB•CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC,
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos(180°-A)=-cosA,得64cosA=-32,解得cosA=-
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∵A∈(0°,180°),∴A=120°,
代入(*)式,可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8
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故选:D
连结BD,可得四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD,由圆内接四边形性质、诱导公式和三角形面积公式,化简得S=
(AB•AD+BC•CD)sinA=16sinA.再根据△ABD和△CBD有公共边BD,利用余弦定理列式解出cosA的值,从而解得A=120°,代入前面式子即可得出四边形ABCD的面积.
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本题给出圆内接四边形的各边之长,求它的面积.考查了圆内接四边形的性质、正余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识,考查了运用所学知识分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
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