题目

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：
①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；
②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）；
⑤f（2009）=0．
其中正确的序号为______．

提问时间：2021-12-13

答案

①对因为f（x+2）+f（x）=0得f（x+2）=-f（x）即f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）②对函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，∴平移之前的图象应该关于（1，0）...

①利用函数的定义判断．②利用点对称的性质判断．③利用轴对称去判断．④利用函数的周期性和对称性判断．⑤利用周期性和对称性将f（2009）进行转换求值．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，综合性较强，属于中档题．