题目

已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-16．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

提问时间：2021-12-03

答案

（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c-16∴f′(2)＝0f(2)＝c−16，即12a+b＝08a+2b+c＝c−16，化简得12a+b＝04a+b＝−8解得a=1，b=-12（II）由（I）知f（x）=x3-12x+c，f′（x...

（Ⅰ）由题设f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函数在点x=2处取得极值c-16，可得

f′(2)＝0 f(2)＝c−16

解此方程组即可得出a，b的值；
（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[-3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[-3，3]上的最小值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c-16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c-16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．