题目

如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm²．求y与x之间的函数关系式．

提问时间：2021-11-23

答案

在Rt△PMN中，
∵PM=PN，∠P=90°
∴∠PMN=∠PNM=45°，
延长AD分别交PM，PN于点G、H．
过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．
∵DC=2cm，
∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm．
∵MN=8cm，
∴MT=6cm．
因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：
（1）当C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2），如图①所示，
设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC=EC=x．
∴y=

1

2

MC•EC=

1

2

x²（0≤x≤2）．

（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6），如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．
∵MC=x，MF=2，
∴FC=DG=x-2，且DC=2，
∴y=

1

2

（MC+GD）•DC=2x-2（2＜x≤6）．
（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8），如图③所示，

设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．
∵MC=x，
∴CN=CQ=8-x，且DC=2，
∴y=

1

2

（MN+GH）•DC-

1

2

CN×CQ
=-

1

2

（8-x）²+12（6＜x≤8）．

在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系，作垂直辅助线，延长AD构成一个长方形，更有利解题，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2）；（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6）；（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8）；把思路理清晰，解题就容易了．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题主要考查直角三角形的性质和垂直关系的应用，直角三角形内部辅助线的作法，以及分类讨论思想的应用．