题目

讲一下三重积分球面坐标R的范围怎么确定?
因为有时候画不出图

提问时间：2021-10-24

答案

假设球面方程为x^2+y^2+z^2=R^2
取定一个z,当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2=R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
这样x也就唯一确定了,也就是相当于二重积分了（与你所说的三重积分矛盾）,拓扑上可以证明球面确实与R^2同胚,实际上我们名词上也说了很清楚球面面嘛!
故我猜测你说的是体积分,也就是x^2+y^2+z^2≤R^2,下面有
取定一个z,当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2≤R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
得到x^2≤R^2-z^2-y^2,则x的范围为-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
积分顺序是先积x,-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
再积y,从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
最后积z,从-R到R.
但是一般球面或者球体积分都用坐标变换成极坐标去积分会简单很多,z=rcosφ,y=rsinφsinθ,x=rsinφcosθ,其中r从0到R,φ从0到π,θ从0到2π