题目
如图,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证:BD=CF.
提问时间:2021-11-04
答案
证明:过D作DG∥AF交BC于G,如图,
则∠F=∠GDE,DE=EF,∠DEG=∠FEC
∴△DGE≌△FCE(ASA),
∴GD=CF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
又∵DG∥AF,
∴∠ACB=∠BGD,
∴∠B=∠BGD,
∴BD=GD,
又∵GD=CF,
∴BD=CF.
则∠F=∠GDE,DE=EF,∠DEG=∠FEC
∴△DGE≌△FCE(ASA),
∴GD=CF,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
又∵DG∥AF,
∴∠ACB=∠BGD,
∴∠B=∠BGD,
∴BD=GD,
又∵GD=CF,
∴BD=CF.
过D作DG∥AF交BC于G,证明△DGE≌△FCE,得出DG=CF,再证明DB=DG,通过等量代换得到BD=CF.
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本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质;解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答,作辅助线构造全等三角形是解题的关键,也是难点.
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