题目

如图，过原点的直线l与反比例函数y=-

1

x

的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是______．

提问时间：2021-10-27

答案

由题意可设点M的坐标为（x，-

1

x

），
则OM=

(|x|)2+(− 1 x )2

=

x2+ 1 x2

，
∵x2+

1

x2

−2＝(x−

1

x

)2≥0，
∴x2+

1

x2

≥2，由此可得OM的最小值为

2

，
由双曲线的对称性可知ON=OM，故MN的最小值为2

2

．
故答案为：2

2

．

欲求MN的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM，可转化为求OM的最小值，列出OM距离的求解式子，求式子的最小值即可．

本题考点：反比例函数综合题．

考点点评：本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．