题目

已知数列{an}的前n项和sn满足:s1=-1,s(n+1)+2sn=-1(n属于正整数),数列{bn}的通项公式为bn=3n-4
（1）求an的通项公式
（2）试比较an与bn的大小，加以证明
：（1）∵s(n+1)+2sn=-1 (n∈N+)①
∴s(n+2)+2 s(n+1) =-1 ②
②-①得：a(n+2)/a(n+1)=-2 ③
即q=-2
∵s1=-1
∴a1=-1
令n=1，由①得：a2=2
∴a2/a1=-2，也满足③
∴对一切n∈N+，都有a(n+1)/an=-2
∴an=a1*q^(n-1)=-(-2) ^(n-1)
即{an}的通项公式为an =-(-2) ^(n-1) (n∈N+)

提问时间：2021-10-19

答案

比较an与bn的大小 an =-(-2) ^(n-1) 可写成 （-1）^n * 2^(n-1)
而bn除第一项与an相等,其他各项均为正数
当 n为奇数时,很显然 an为负数
综合第一项与an相等,那么bn要大于等于an
当n为偶数时,an为正数 2^(n-1)
第二项 a2=b2=2 第四项 a4=b4=8 第六项 a6= 16 > b6=14
猜想 n为偶数时 有 an=2^(n-1) >= bn=3n-4
且在n=2 ,4 ,6成立
则在n+2时 须证明 2^n > = 3(n+2) -4
即须证明 2^n > = 3n+2
而 2^n = 2 * 2^(n-1) > = 2*(3n-4)
> = 3n +(3n-8)
很显然当 n>6 时 必然有 2^n > = 3n +(3n-8) > 3n+2
猜想成立
综合 当 n为奇数时 那么bn要大于等于an
当n为偶数时 那么an要大于等于bn
给分吧楼主 以上均本人思考 ,纯手打