题目

设ABCD是半径为2的球面上的四个不同点,且满足向量AB⊥向量AC,向量AB⊥向量AD,向量AC⊥向量AD
三角形ABC、三角形ABD、三角形ACD的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3最大值为?
我看到有位老师的解答是：以A为原点,作直角坐标系A-BCD.设球心P（x,y,z）,则:x²+y²+z²＝4.
且：B（2x,0,0）,C（0,2y,0）,D（0,0,2z）.（这是为了PB＝4.等等）
则：S1+S2+S3＝S＝2xy+2yz+2xz.
看：8-S＝（x-y）²+（y-z）²+（x-z）².（8＝2x²+2y²+2z²）
S＝8－｛（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²｝
显然,当x=y=z时,S＝8.为最大值.
不懂啊,从开头就不懂,为什么x²+y²+z²＝4.
或者用种新方法也可以.

提问时间：2021-10-12

答案

因为向量AB⊥向量AC,向量AB⊥向量AD,向量AC⊥向量AD
AB,AC,AD两两垂直,以A,B,C,D为其中四个顶点的长方体内接于球
因为长方体长宽高的平方和等于其体对角线的平方（在长方体两个面上用两次勾股定理）,而其长宽高分别为2x,2y,2z,体对角线长度为球直径4
所以化简得x²+y²+z²＝4
接下来还有不懂的吗?