题目

已知函数f（x）=(x−k)2e

x

k

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，求k的取值范围．

提问时间：2021-10-10

答案

（1）f′（x）=

1

k

(x2−k2)e

x

k

，
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
当k＞0时，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上递增，在（-k，k）上递减；
当k＜0时，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上递减，在（k，-k）上递增…（8分）
（2）当k＞0时，f（k+1）=e

k+1

k

＞

1

e

，所以不可能对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

；
当k＜0时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（-k）=

4k2

e

，所以对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

即

4k2

e

≤

1

e

，∴−

1

2

≤k＜0，
故对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

时，k的取值范围为[-

1

2

，0）．…．（14分）

（1）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，等价于对∀x∈（0，+∞），都有f（x）_max≤

1

e

，由此可求k的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．