题目

如图，△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连结CD，设S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．

（1）当D为AB中点时，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，

S1

S

＝y，求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围．

提问时间：2021-10-05

答案

（1）∵D为AB中点，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=(

1

2

)2=

1

4

，
∴S₁：S=1：4；
（2）∵AB=4，AD=x，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=（

x

4

）²，
∴

S△ADE

S△ABC

=

1

16

x²，①
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

，
∵AB=4，AD=x，
∴

AE

AC

=

x

4

，
∴

AE

EC

=

x

4−x

∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴

S△ADE

S△DEC

=

AE

EC

=

x

4−x

②，
①÷②得：
∴y=

S1

S

=-

1

16

x²+

1

4

x，
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4．

（1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出

S△ADE

S△ABC

=

1

16

x²①，

S△ADE

S△DEC

=

AE

EC

=

x

4−x

②，①÷②即可得出答案．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了平行的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．