题目

设函数f（x,y）在全平面内可微,且满足方程x（af/ax）＋y（af/ay）＝0.证...
设函数f（x,y）在全平面内可微,且满足方程x（af/ax）＋y（af/ay）＝0.证明f（x,y）恒为常数

提问时间：2021-09-10

答案

对任意固定点（x,y）,令g(t)=f(tx,ty),则g(t)是可微函数,且g'(t)=x*af/ax(tx,ty)+y*af/ay(tx,ty)=【tx*af/ax(tx,ty)+ty*af/ay(tx,ty)】/t=0,t不等于0时.当t=0时,
按定义g'(0)=lim 【f(tx,ty)--f(0,0)】/t=lim 【tx*af/ax(0,0)+ty*af/ay(0,0)+小o(t)】/t=0,第一个等号是微分定义,因此总有g'(t)=0,故g(t)=g(0)=f(0,0).
上式表明在过原点的直线上任一点的函数值=原点的函数值.因此f是常数.