题目

x+y=48 请问xy的最大值求法
x+y=48 xy的最大值怎么求?

提问时间：2021-05-08

答案

方法1：采用拉格朗日方法：
目标函数：max{xy}；
约束函数：x+y=48；
设F(x,y)=xy-a(x+y-48)
分别对x,y,a求导,且结果均为0,得到：
y-a=0 ①
x-a=0 ②
x+y-48=0； ③
解①②③得到：x=y=a=24；
所以xy的最大值为24^2=576.此时x=y=24.
方法2：
∵2xy≤x^2+y^2=(x+y)^2-2xy；
∴4xy≤(x+y)^2=48^2；
∴xy≤48^2/4=24^2=576
上式中等号成立的条件是x=y=24；
所以xy最大值为576,此时x=y=24
方法3：
令f(x,y)=xy,则
f(x,y)=x(48-x)=-(x^2-48x)=-(x-24)^2+576；
当x=24时,f=xy有最大值576；此时x=y=24；
方法4：
令f(x,y)=xy,则
f(x,y)=g(x)=x(48-x)=-x^2+48x
由于a=-1＜0,函数g(x)有最大值；
当x=-b/2a,即x=-48÷（-1×2）=24时,g（x）取得最大值,且最大值为
g(24)=-24^2+48*24=576；
即xy的最大值为576