题目

在△ABC中,P是BC边上的任意一点.求证：存在γ1,γ2∈(0,1)且γ1+γ2=1,是AP=γ1AB+γ2AC.
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提问时间：2021-05-02

答案

つ沉淀゜く,你好"
解答如下,我来跟你提供解这类向量证明题的思路,你看这是个存在性的证明题,因此你可以倒推分析, 什么情况下,γ1+γ2=1? 自然而然,想到, (BP+PC)/BC=1, 把它分拆,如果能证得 γ1=BP/BC,γ2=PC/BC, 那么原问题就得证了,照此思路来转化.
于是过点P引两条线分别平行于AB,AC 分别交AC于D,交AB于E,那么产生了平行线间的比例关系,得到,BP/BC=AD/AC,PC/BC=AE/AB, 于是,根据平行四边形AEPD,对角线, 向量AP=向量AE+向量AD 而由上式, AE=PC/BC *AB, AD=BP/BC *AC, 于是代入,令γ1=BP/BC,γ2=PC/BC 显然,γ1,γ2∈(0,1)且γ1+γ2=1 且AP=γ1AB+γ2AC.