题目

双曲线xy=1的焦点坐标和准线方程是

提问时间：2021-04-23

答案

化非标准方程为标准方程
双曲线y=1/x的实轴为直线x-y=0,虚轴为直线x+y=0
以原点为中心进行坐标系旋转变换,将直角坐标系xOy旋转π/2变换成直角坐标系uOv
【 单位向量u=(1/√2)单位向量y+(1/√2)单位向量x,单位向量v=(1/√2)单位向量y-(1/√2)单位向量x 】
令(x+y)/√2=u,(-x+y)/√2=v,则x=(u-v)/√2,y=(u+v)/√2
所以双曲线y=1/x的实轴为直线x-y=0,即v=0,虚轴为直线x+y=0,即u=0
变换双曲线方程y=1/x,得(u+v)/√2=1/[(u-v)/√2]
得到直角坐标系uOv上的标准方程u^2/2-v^2/2=1
所以a^2=b^2=2,c^2=a^2+b^2=4,c=2
所以在直角坐标系uOv上的焦点坐标为(±2,0),准线方程为u=±1
所以在直角坐标系xOy上的焦点坐标为(√2,√2)、(-√2,-√2),准线方程为y=x±√2