题目

设曲线y=(ax-1)e^x在点A（x0,y1)处得切线为L1
设曲线y1=(ax-1)e^x在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y2=(1-x)e^-x在点B(x0,y2)处的切线为l2.若存在0≤x0≤3/2,使得l1⊥l2,求a的取值范围.

提问时间：2021-04-21

答案

先求导,y1′=(ax+a-1)e^x y2′=(x-2)e^(-x)
据题意,存在0≤x0≤3/2,使得(ax0+a-1)e^x0 •(x0-2)e^(-x0)=-1
化简,即 f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根.
当a=0时,令f(x)=0,解得x=3 不合题意
故a≠0,f(x)为一元二次函数,且f(0)=3>0,故
①当f(3/2)≤0时,f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上一定有实数根
f(3/2)=3a/4+3/2 ≤0 所以,a≤ -2
②当f(3/2)>0时,要使f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根,只需
0≤(a+1)/2a