题目

（理）已知函数f(x)＝

sin2x−(a−4)(sinx−cosx)+a

的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z}，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-04-18

答案

令t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），由已知，2kπ≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，∴t∈[-1，1]，f（t）=

1−t2−(a−4)t+a

，∴g（t）=-t²-（a-4）t+a+1≥0在[-1，1]上恒成立．
∴

g(1)≥0 g(−1)≥0

∴

4≥0 2a−4≥0

解得a≥2．
故答案为：a≥2

令t=sinx-cosx，则y=f（t）=

1−t2−(a−4)t+a

，由已知t∈[-1，1]，，转化成g（t）=-t²-（a-4）t+a+1≥0在[-1，1]上恒成立去解决．

本题考点：三角函数的化简求值；函数的定义域及其求法；同角三角函数间的基本关系．

考点点评：本题考查三角换元，二次函数的性质，不等式恒成立问题．考查分析解决、计算、转化的思想方法．