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题目
如图,在△ABC中,∠C是直角,平面ABC外有一点P,PC=24,点P到直线AC、BC的距离PD和PE都等于6
10
,求:

(1)点P到平面ABC的距离PF;
(2)PC与平面ABC所成的角.

提问时间:2021-04-18

答案
(1)作PE,PD分别垂直于BC,BA,设PF垂直面ABC于F,
连接EF,FD,FC,
∵EP⊥CE,PF⊥CE,
∴CE⊥面PEF,∴CE⊥EF
同理,CD⊥DF
∵∠C是直角,
∴四边形ECDF是矩形
∴EC=DF
Rt△PEC中,PE=6
10
,PC=24,∴EC=
242−(6
10
)2
=6
6

Rt△PDF中,PF=
(6
10
)2−(6
6
)2
=12
(2)由题意,PF垂直面ABC于F,∠PCF为直线PC与面ABC所成的角.
∵sin∠PCF=
PF
PC
=
1
2
,∴∠PCF=30°
即直线PC与面ABC所成的角为30°
(1)连接EF,FD,FC,证明四边形ECDF是矩形,可得结论;
(2)由题意,∠PCF为直线PC与面ABC所成的角,即可求出结论.

点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角.

本题考查空间距离与角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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