题目

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

2

．

（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

提问时间：2021-04-14

答案

（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中...

（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．
（2）根据题中数据，算出DO=

1

2

BD=2，OM=

1

2

AB=2，从而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，连结DE，利用线面垂直的判定与性质证出AB⊥DE，可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角． Rt△DOE中算出OE、DE的长，利用三角函数的定义算出cos∠DEO=

OE

DE

=

21

7

，即得所求二面角的余弦值．

本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行、面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行判定定理、线面垂直与面面垂直的判定和二面角的平面角的定义与求法等知识，属于中档题．