题目

（08•全国Ⅱ）设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a,an+1＝Sn＋3n,n∈N*．请看补充
(Ⅰ)设bn＝Sn－3n,求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．
【分析】　第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系,再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．
【解】　(Ⅰ)依题意,Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n,即Sn+1＝2Sn＋3n,
由此得Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)．
因此,所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n1,n∈N*,①
(Ⅱ)由①知Sn＝3n＋(a－3)2 n1,n∈N*,
于是,当n≥2时,an＝Sn－Sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2,
an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2•[12•(32)n2＋a－3],
当n≥2时,an+1≥an,即2 n2•[12•(32)n2＋a－3]≥0,12•(32)n2＋a－3≥0,∴a≥－9,
综上,所求的a的取值范围是[－9,＋∞]．
我要说的是：不用求当n=1的时候吗?

提问时间：2021-04-11

答案

其实根据an+1＝Sn＋3^n
当n=1时.a2=S1+3^1
a2-a1=3>0恒成立的