题目

已知整数a,b,c,d满足abcd=6(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)
(1)是否存在满足上诉条件的a,b,c,d均为整数?若存在,求出所有的解；若不存在,请说明理由.
（2）若a>1,b>1,c>1,d>1,求出a+b+c+d的最小值.
（参考知识：
1、当a、b、c、d>0时,abcd小于等于[(a+b+c+d)/4]^4,等号当且仅当a=b=c=d时成立.
2、当a、b、c、d>0时,(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)大于等于16,等号当且仅当a=b=c=d时成立）

提问时间：2021-04-10

答案

不要用参考知识,个人感觉没什么用
恩,其实第二问已经说明了,如果a,b,c,d中有一个为1,其余数有一个为0,另外两个任意肯定是组解,所以下面只讨论abcd都不是1和0的情况.
无妨a>=b>=c>=d,本题你可以想象一下,当abcd都很大的时候,很明显右面比左面大得多,因此答案可以用穷举法.虽然麻烦,但是思路很清楚.
当d>=4时,两边同除以abcd,可得即便a=b=c=d=4,右面都大于左边.故d=2,3,或负数（负的最后讨论）
d=3,c=4,有ab=3（a-1）（b-1）,即使a=b=4也有右边大于左边.
d=3,c=3,3ab=8(a-1)(b-1),简单算算也没有解.
d=2,abc=3(a-1)(b-1)(c-1),由上面方法,可得到c