题目

直线l的方程:x-2y+3=0与椭圆C1:x^2/4+y^2/3=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2),两点,P是抛物线C2：y^2=x上一点
求三角形ABP面积的最小值和P的坐标

提问时间：2021-04-09

答案

将 x=2y-3 代入椭圆方程得 (2y-3)^2/4+y^2/3=1 ,
化简得 16y^2-36y+15=0 ,
因此 y1+y2=36/16=9/4 ,y1*y2=15/16 ,
所以 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5(y2-y1)^2=5*[(y1+y2)^2-4y1*y2]=5*[(9/4)^2-4*15/16]=105/16 ,
则 |AB|=(√105)/4 ,
设 P（y^2,y）是抛物线上任一点,则 P 到直线 AB 的距离为
d=|y^2-2y+3|/√5=[(y-1)^2+2]/√5 ,
由于 SABP=1/2*|AB|*d ,
所以,当 d 取最小值时,SABP 最小,
所以,当 y=1 即 P（1,1）时,SABP 最小,为 √21/4 .