题目

如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

提问时间：2021-04-09

答案

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠NCM+∠CMD=90°，
而∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠NCM=∠CDM，
在△DCM和△CBN中，
∵

∠NCM＝∠CDM CD＝CB ∠DCM＝∠CBN

，
∴△DCM≌△CBN（ASA），
∴CM=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45°，CO=BO，
在△OCM和△OBN中，
∵

CM＝BN ∠OCM＝∠OBN CO＝OB

∴△OCM≌△OBN（SAS）．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，
∴∠BON+∠MOB=90°．
∴∠MON=90°，即OM⊥ON．
∴OM与ON之间的关系是OM=ON且OM⊥ON．

此题的结论是OM=ON；OM⊥ON．可以利用已知条件证明．DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题把正方形和全等三角形的知识结合起来，主要利用正方形的性质与全等三角形的判定、性质来解题．