题目
边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?
结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.
是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)
结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.
是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)
提问时间:2021-04-08
答案
证明:假设是一个正N边形,周长为L 则每条边的长度为L/N,连接某一条边的两个端点到图形中点的两条线段 设其长度为R 则这两条线段与这条边组成一个等腰三角形.
然后就是用L和N表示出正多边形的面积:S=N*每一个等腰三角形面积=N*(1/2)*R^2*sin(2t) 其中2t就是等腰三角形的顶角大小,其大小满足2t=2pi/N(pi表示圆周率) 所以化简之后得到S=L^2/(4*pi)*m*cosm/(sin m) 这里的m 即为pi/N
接下来就是要证明,这个函数是单调递增且有极限存在.
将S对于m求导可以易得是个单调递减函数 又因为m=pi/N在N为自然数的时候显然又是个单调减的函数,所以随着N增加 m逐渐减小S逐渐增加 所以同等周长的情况下,边数越多的正多边形面积越大.
下面看N趋近于无穷的情况,此时m趋近于0 后面的F(m)=m*cosm/(sin m) 是一个0/0型的极限,所以使用罗比达法则,上下对于m求导,易得原极限=(cosm-m*sin m)/(cos m) =1 所以原来的F(m)极限就是=1 所以当n趋近于无穷时 面积极限存在等于L^2/(4*pi)
证毕
然后就是用L和N表示出正多边形的面积:S=N*每一个等腰三角形面积=N*(1/2)*R^2*sin(2t) 其中2t就是等腰三角形的顶角大小,其大小满足2t=2pi/N(pi表示圆周率) 所以化简之后得到S=L^2/(4*pi)*m*cosm/(sin m) 这里的m 即为pi/N
接下来就是要证明,这个函数是单调递增且有极限存在.
将S对于m求导可以易得是个单调递减函数 又因为m=pi/N在N为自然数的时候显然又是个单调减的函数,所以随着N增加 m逐渐减小S逐渐增加 所以同等周长的情况下,边数越多的正多边形面积越大.
下面看N趋近于无穷的情况,此时m趋近于0 后面的F(m)=m*cosm/(sin m) 是一个0/0型的极限,所以使用罗比达法则,上下对于m求导,易得原极限=(cosm-m*sin m)/(cos m) =1 所以原来的F(m)极限就是=1 所以当n趋近于无穷时 面积极限存在等于L^2/(4*pi)
证毕
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
- 1数学达人帮忙解方程440(1+x)²=743.6 在线等
- 2一个圆柱形容器的底面直径是10厘米,把一块铁块放入这个盛水的容器后,水面上升2厘米,这块铁块的体积是( )立方厘米. A.157 B.628 C.125.6 D.78.5
- 3在长l=1m,mB=30kg的车厢B内的右壁,放上一个质量mA=20kg的物体A(质点),对车厢B施加1水平向右的恒力F=120N,使之从静止开始运动.测得车厢B在最初2s内移动5m 且这段时间内小五
- 4修路队修一条水渠,第一周修了2/5千米,第二周修了11/35千米,正好剩下全长的2/7.求这条水渠全长多少千米?
- 5一群鸽子放飞回来,如果每只鸽笼里飞进4只,还有19只在空中飞翔,如果每只鸽笼里飞进6只,还有一只鸽笼里不到6只鸽子,那么有鸽子多少只?有鸽笼多少个?
- 6某大学有三块草坪,第一块草坪面积为(a+b)2 m2,第二块草坪的面积为a(a+b)m2,第三块草坪的面积为(a+b)b m
- 7百家姓中哪些姓是多音字?百家姓中哪些姓是多音字?百家姓中哪些姓是多音字?百家姓中哪些姓是多音字?
- 8are your desks made of wood肯定句怎回答?否定句又是怎样回答?
- 9如下图,一个窗户上面是一个4个扇形组成的半圆,下面是由4个边长相同的小正方形组成的正方形,请计算这个窗
- 10300克等于多少毫升
热门考点
- 1先化简分式a2−9a2+6a+9÷a−3a2+3a−a−a2a−1,然后在0,1,2,3中选一个你认为合适的a值,代入求值.
- 2已知x+y的算术平方根是3,(x-y)²=9,求xy的值?
- 3《羔美》这两个字上下合到一块念什么字?
- 4老公用英语杂说
- 5有两颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,设两颗人造地球卫星的质量比为1:2轨道半径之比为3:1
- 6怎样判断盐酸中的HCl和KMnO4反应能生成什么?(最好详细的一点~)
- 7贝多芬是什么国最伟大的音乐家之一,被尊称为什么
- 8you can tell your best friend to help you to buy the popular clothes.有错吗?
- 9已知实数x,y,z适合x+y=6,z^2=xy-9,求z的值
- 10英语翻译