题目
在△ABC中,∠ABC=90°,BC=AB,P是内一点,且PA=1,PB=2,PC=3,试求∠APB的度数.
提问时间:2021-04-08
答案
∵∠ABC=90°,BC=AB,
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA,如图,
∴BD=BP=2,AD=PC=3,∠PBD=90°,
∴△PBD为等腰直角三角形,
∴PD=
PB=2
,∠DPB=45°,
在△APD中,AP=1,PD=2
,AD=3,
∵12+(2
)2=32,
∴AP2+PD2=AD2,
∴△APD为直角三角形,
∴∠APD=90°,
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°.
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA,如图,
∴BD=BP=2,AD=PC=3,∠PBD=90°,
∴△PBD为等腰直角三角形,
∴PD=
2 |
2 |
在△APD中,AP=1,PD=2
2 |
∵12+(2
2 |
∴AP2+PD2=AD2,
∴△APD为直角三角形,
∴∠APD=90°,
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°.
由于∠ABC=90°,BC=AB,则可以把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA,根据旋转的性质得到BD=BP=2,AD=PC=3,∠PBD=90°,得到△PBD为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到PD=2PB=22,∠DPB=45°,在△APD中易得AP2+PD2=AD2,根据勾股定理的逆定理得到△APD为直角三角形,然后利用∠APB=∠APD+∠DPB计算即可.
旋转的性质;勾股定理的逆定理;等腰直角三角形.
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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