题目

已知：如图8,直线y ＝－x＋12交x轴于点A,交y轴于点B,将△AOB沿某直线折叠,使点A落在OB的中

提问时间：2021-04-07

答案

第一个问题：
令y＝－x＋12中的x＝0,得：y＝12.　再令y＝－x＋12中的y＝0,得：x＝12.
∴OA＝12、　OB＝12.　∴容易得出：AB＝12√2.
设AE＝m,则：BE＝12√2－m.
过E作EF⊥OB交OB于F.　容易证出△FEB∽△OAB,　∴EF＝BF＝BE/√2＝12－m/√2.
∵CE是AE经折叠而得到的,　∴CE＝AE＝m.
又C是OB的中点,∴BC＝6.
一、当F在B、C之间时,CF＝BC－BF＝6－（12－m/√2）＝m/√2－6,
　　由勾股定理,有：CF^2＋EF^2＝CE^2,　∴（m/√2－6）^2＋（12－m/√2）^2＝m^2,
　　∴m^2/2－12m/√2＋36＋144－24m/√2＋m^2/2＝m^2,
　　∴36m/√2＝180,　∴m＝5√2.
　　但CF＝m/√2－6＝5－6＝－1,这显然是不合理的,　∴点F不可能在B、C之间.
二、当F与C重合时,EF＝CE,　∴12－m/√2＝m,　∴√2m＋m＝12√2,
　　∴m＝12√2/（√2＋1）＝12√2（√2－1）＝24－12√2,
　　但此时显然有：BC＝CE＝24－12√2,而BC＝6,　∴F与C重合是不可能的.
三、只能是F落在O、C之间,此时CF＝BF－BC＝（12－m/√2）－6＝6－m/√2.
　　由勾股定理,有：CF^2＋EF^2＝CE^2,　∴（6－m/√2）^2＋（12－m/√2）^2＝m^2,
　　∴m^2/2－12m/√2＋36＋144－24m/√2＋m^2/2＝m^2,
　　∴36m/√2＝180,　∴m＝5√2.
综上所述,得：AE＝5√2.
第二个问题：
过C作CG⊥BE交BE于G.
由三角形面积计算公式,有：△BCE的面积＝（1/2）BC×EF＝（1/2）BE×CG,
∴CG＝BC×EF/BE＝6×［12－（5√2）/√2］/（12√2－5√2）＝6×7/（7√2）＝6/√2.
∴sin∠BEC＝CG/CE＝（6/√2）/AE＝（6/√2）/（5√2）＝3/5.
第三个问题：
∵CD是由AD经折叠而得到的,　∴CD＝AD.
由勾股定理,有：OC^2＋OD^2＝CD^2　∴36＋（12－CD）^2＝CD^2,
∴36＋144－24CD＋CD^2＝CD^2,　∴CD＝180/24＝15/2.
∴△CDE的面积＝（1/2）CD×CEsin∠DCE＝（1/2）×（15/2）×（5√2）sin45°＝75/4.