题目

如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别在边AD和DC上，且AE=EF，画EF⊥FM交BC于点M，则△FMC的周长为______．

提问时间：2021-04-06

答案

作AH⊥FM，设∠EAF=α，
∴∠AHF=∠AHM=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=4，∠D=∠B=90°
∵EF⊥FM，
∴∠EFM=90°
∵AE=AF，
∴∠EAF=∠EFA=a，
∴∠AFH=90°-α=∠AFD，
在△ADF和△AHF中，

∠D＝∠AHF ∠AFD＝∠AFH AF＝AF

，
∴△AFH≌△AFD﹙AAS﹚
∴DF=HF，AD=AH=4=AB，
在Rt△AHM和Rt△ABM中，

AM＝AM AH＝AB

，
∴Rt△AMH≌Rt△AMB，
∴HM=BM．
∵△FMC的周长=CF+FM+MC，
∴△FMC的周长=CF+FD+MB+MC=CD+CB=8．
故答案为：8．

作AH⊥FM，连接AF，AM，根据正方形的性质分别证明△AFH≌△AFD和Rt△AMH≌Rt△AMB，由全等三角形的性质就可以得出结论

本题考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时正确作辅助线是解答本题的关键．