题目

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（　　）
A. 1
B.

3

C. 2
D. 3

提问时间：2021-04-05

答案

设y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
所以c²=-

c

a

，c=-

1

a

，
又

4ac−b2

4a

=-1，即4a=4+b²，且a≥1，
所以S_△ABC=

1

2

|c|•|x₁-x₂|=

1

2a

(x1+x2)2−4x1x2

，
=

1

2a

b2 a2 + 4 a2

，
=

1

a a

≤1，
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．
故选A．

先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积．

本题考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；三角形的面积．

考点点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角形的面积公式及根与系数的关系，有一定的综合性，但难度适中．