题目

高3的一道数学归纳法题
用数学归纳法证明
(A1+A2+…+An)^2=(A1)^2+(A2)^2+…+(An)^2+2(A1A2+A1A3+…+A(n-1)An)

提问时间：2021-04-02

答案

n=1和n=2,显然成立
假设n=k时有
(a1+a2+……+ak)^2=a1^2+a2^2+……+ak^2+2[a1a2+a1a3+……+a(k-1)ak]
则n=k+1时
[a1+a2+……+ak+a(k+1)]^2
=(a1+a2+……+ak)^2+2(a1+a2+……+ak)*a(k+1)+[a(k+1)]^2
=a1^2+a2^2+……+ak^2+2[a1a2+a1a3+……+a(k-1)ak]+2(a1+a2+……+ak)*a(k+1)+[a(k+1)]^2
=a1^2+a2^2+……+ak^2+[a(k+1)]^2+2[a1a2+a1a3+……+a(k-1)ak+a1a(k+1)+……aka(k+1)]
命题得证