题目

设f（0）的二阶导数存在,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x (x≠0时) g(x)=f（0）的导数（x=0时）,则g(0)的导数为
x=0时,g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)=(1/2)f''(0) 这个罗比达法则是怎么用的?最后两步跟我做的不一样

提问时间：2021-04-02

答案

g(0)=f'(0)
按照定义 g'(0)=lim(x->0)[g(x)-g(0)]/[x-0]
=lim(x->0)[f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x->0)[f(x)-xf'(0)]/x²
当x趋向于0时 f(x)->f(0)=0
xf'(x)->0
x->0
所以运用罗比他法则
上下同时求导
g'(0)= lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
因为此时当x趋向于0时 f'(x)-f'(0)->0
所以再一次罗比他法则
得 g'(0)= lim(x→0) [f'‘(x)]/2
=(1/2)f''(0)