题目

（1）如图1，四边形ABCD中，AB=CB，ABC=60°，∠ADC=120°，请你猜想线段DA，DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，请你猜想线段PA，PD，PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）如图1，延长CD至E，使DE=DA．连接AC．
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE=60°．
∵AD=DE，
∴△EAD是等边三角形．
∴AE=AE，∠DAE=60°．
∴AB=AC，∠ABC=60°，
∵∠BAD=60°+∠CAD，∠EAC=60°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
∴△BAD≌△CAE．
故AD+CD=DE+CD=CE=BD．
（2）如图2，在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D，连接AC，
那么△AB′D和△ABC都是等边三角形，
∴AB=AC，AB′=AD．
∵∠BAD=∠B′AC=60°+∠CAD，
∴△AB′C≌△ADB，得B′C=DB．
∵四边形AB′DP符合（1）中条件，
∴B′P=AP+PD．
连接B′C，
（ⅰ）若满足题中条件的点P在B′C上，
则B′C=PB′+PC，
∴B′′C=AP+PD+PC．
∴BD=PA+PD+PC．
（ⅱ）若满足题中条件的点P不在B′C上，
∵B′C＜PB′+PC，
∴B′C＜AP+PD+PC．
∴BD＜PA+PD+PC．
综上，BD≤PA+PD+PC．