题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.（1）求EF//平面PAD；（2...
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.（1）求EF//平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD所成二面角多大时,直线EF垂直平面PCD?

提问时间：2021-04-01

答案

取PD的中点G,连接FG,AG,则
FG//1/2CD,AE//1/2CD
∴FG//AE且FG=AE
∴四边形AEFG是平行四边形
∴EF//AG
∴EF//平面PAD
(2)
∵底面ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∵侧棱PA垂直于底面
∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成的二面角
∵EF⊥面PCD
∴EF⊥CD
又EF//AG
∴AG⊥面PCD
∴AG⊥PD又点G是PD的中点,PA⊥AD
∴∠PDA=45°
所以平面PCD与平面ABCD所成的二面角为45°