题目

四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,角ABC等于45度,OA垂直于底面,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点
(1)证明:直线MN平行平面OCD
(2)求异面直线AB与MD说成角的大小
(3)求点B到平面OCD的距离
要用向量方法

提问时间：2021-04-01

答案

过A作AE⊥CD交CD于点E,所以AE=DE=cos45°=√2/2,
以O为原点,AB为x轴,AE为y轴,AQ为z轴建立空间直角坐标系A—xyz,
则有A(0,0,0),B(1,0,0),C(1-√2/2,√2/2,0),D(-√2/2,√2/2,0),M(0,0,1),N(1-√2/4,√2/4,0),O(0,0,2)
(1)可得：向量MN=(1-√2/4,√2/4,-1),向量OC=(1-√2/2,√2/2,-2),向量OD=(-√2/2,√2/2,-2)
设向量m=(x,y,z)是平面OCD的法向量,则有向量m*向量OC=0,向量m*向量OD=0
即(1-√2/2)x+,√2/2y-2z=0,-√2/2x+√2/2y-2z=0,解得x=0,z=√2/4y,令y=4得z=√2
所以向量m=(0,4,√2).因为向量m*向量MN=0,所以向量m⊥向量MN
又MN不在平面OCD上,所以直线MN平行平面OCD
(2)可得:向量AB=(1,0,0),向量MD=(-√2/2,√2/2,-1)
因为cos=(向量AB*向量MD)/(|向量AB|*|向量MD|)=(-√2/2)/(1*√2)=-1/2
所以异面直线AB与MD说成角的大小为60°.
(3)由(2)求得平面OCD的法向量为向量m=(0,4,√2)
又向量BO=(1,0,-2),cos=(向量m*向量BO)/(|向量m|*|向量BO|)
所以点B到平面OCD的距离d=|向量BO||cos|=|向量m*向量BO|/|向量m|=2/3