题目
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF.
(1)证明:EF=CF;
(2)当tan∠ADE=
时,求EF的长.
(1)证明:EF=CF;
(2)当tan∠ADE=
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提问时间:2020-11-22
答案
(1)证明:过D作DG⊥BC于G.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC.
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
在△EDF和△CDF中
,
∴△EDF≌△CDF,
∴EF=CF;
(2)∵tan∠ADE=
=
,
∴AE=GC=2.
∴BC=8,
BE=4,设CF=x,则BF=8-CF=8-x,
在Rt△BEF中,由勾股定理得:x2=(8-x)2+42,
解得x=5,
即EF=5.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC.
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
在△EDF和△CDF中
|
∴△EDF≌△CDF,
∴EF=CF;
(2)∵tan∠ADE=
AE |
AD |
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3 |
∴AE=GC=2.
∴BC=8,
BE=4,设CF=x,则BF=8-CF=8-x,
在Rt△BEF中,由勾股定理得:x2=(8-x)2+42,
解得x=5,
即EF=5.
(1)过D作DG⊥BC于G,由已知可得四边形ABGD为正方形,然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC,接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF,
(2)由tan∠ADE=
根据已知条件可以求出AE=GC=2.设EF=x,则BF=8-CF=8-x,BE=4.在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x,也就求出了EF.
(2)由tan∠ADE=
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解直角三角形;全等三角形的判定;勾股定理;直角梯形.
本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.
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