题目
如图,AM是三角形ABC的中线,角DAM=角BAM,CD//AB.求证:AB=AD+CD
用两种方法证明
用两种方法证明
提问时间:2021-04-01
答案
方法一:
延长CD交AM的延长线于E.
∵AB∥CE,∴∠ABM=∠ECM、∠BAM=∠CEM,又BM=CM,∴△ABM≌△ECM,∴AB=EC.
∵AB∥ED,∴∠DEA=∠BAE,又∠BAE=∠DAE,∴∠DEA=∠DAE,∴AD=ED.
显然有:EC=ED+CD,而EC=AB、ED=AD,∴AB=AD+CD.
方法二:
过B作BE⊥AM交AM的延长线于F,再延长BF交AD的延长线于G.
∵∠BAF=∠GAF、AF⊥BG,∴AB=AG、BF=GF,∴∠ABG=∠AGB.
∵BM=CM、BF=GF,∴AF∥CG,又∠AFB=90°,∴∠BGC=90°,
∴∠AGB+∠DGC=∠CBG+(∠BCD+∠DCG)=(∠CBG+∠BCD)+∠DCG=90°.
∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,∴∠AGB+∠DGC=(∠CBG+∠ABC)+∠DCG,
∴∠AGB+∠DGC=∠ABG+∠DCG,而∠AGB=∠ABG,∴∠DGC=∠DCG,∴CD=GD.
显然有:AG=AD+GD,∴AG=AD+CD,又AB=AG,∴AB=AD+CD.
延长CD交AM的延长线于E.
∵AB∥CE,∴∠ABM=∠ECM、∠BAM=∠CEM,又BM=CM,∴△ABM≌△ECM,∴AB=EC.
∵AB∥ED,∴∠DEA=∠BAE,又∠BAE=∠DAE,∴∠DEA=∠DAE,∴AD=ED.
显然有:EC=ED+CD,而EC=AB、ED=AD,∴AB=AD+CD.
方法二:
过B作BE⊥AM交AM的延长线于F,再延长BF交AD的延长线于G.
∵∠BAF=∠GAF、AF⊥BG,∴AB=AG、BF=GF,∴∠ABG=∠AGB.
∵BM=CM、BF=GF,∴AF∥CG,又∠AFB=90°,∴∠BGC=90°,
∴∠AGB+∠DGC=∠CBG+(∠BCD+∠DCG)=(∠CBG+∠BCD)+∠DCG=90°.
∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,∴∠AGB+∠DGC=(∠CBG+∠ABC)+∠DCG,
∴∠AGB+∠DGC=∠ABG+∠DCG,而∠AGB=∠ABG,∴∠DGC=∠DCG,∴CD=GD.
显然有:AG=AD+GD,∴AG=AD+CD,又AB=AG,∴AB=AD+CD.
举一反三
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