题目

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）可设y=a（x-4）²-1，（2分）
∵交y轴于点C（0，3），
∴3=16a-1，（3分）
∴a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

（x-4）²-1，
即∴y=

1

4

x²-2x+3．（4分）
（2）存在．（5分）
当y=0，则

1

4

（x-4）²-1=0，
∴x₁=2，x₂=6，（6分）
∴A（2，0），B（6，0），
设P（0，m），则OP=|m|在△AOC与△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA，
∴

OB

OC

=

OP

OA

，OP=

6×2

3

=4，
∴m=±4；（7分）
②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，
∴

OP

OC

=

OB

OA

，OP=

6×3

2

=9，
∴m=±9，（7分）
∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．（10分）

（1）因为抛物线的顶点坐标为（4，-1），所以可设其顶点式，再把点C（0，3）代入即可求出未知数的值从而求出其解析式．
（2）先求出A、B两点的坐标，设出P点坐标，根据对应角相等的情况，列出两组比例式解答．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式，还是一道开放性题目．
要求同学们通过观察进行猜想，假设结论成立，并进行计算，验证猜想的正确性．