题目

现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论．

提问时间：2021-04-01

答案

由题意知，相同质量的砝码不会同时出现在天平的两个秤盘之中，假定当天平平衡时，用9克的砝|x|只，当该砝码出现在被称物体所在的秤盘中时，x取负整数，同理，假定13克的砝码用了|y|只，所以当天平平衡称出了3克的物体时，应有：
9x+13y=3，
问题变为求|x|+|y|的最小值，
先可任取方程的一个整数解例如，因y=

3−9x

13

，当x=9时，得y=-6，
利用该解得

9×9−13×6＝3 9x+13y＝3

，
两式相减，得9（x-9）+13（y+6）=0
9（x-9）=-13（y+6），
因9和13互质，x-9必能被13整除，故设x-9=13k，这里k是整数，这时有9×13k=-13（y+6），-（y+6）=9k，
总之，有

x＝9+13k y＝−6−9k

，k=0，±1，±2，
（1）当k=0时，x=9，y=-6，|x|+|y|=15，
（2）当k≥1时，|x|≥22，|y|＞0，从而|x|+|y|＞22，
（3）当k≤-1时，若k=-1，则x=-4，y=3，|x|+|y|=7，
若k＜-1，则|y|≥12，|x|＞0，从而|x|+|y|＞12，
由上可知，至少要用7只这样的砝码，其中9克的4只，13克的3只．

首先假设出先考虑9克砝码的个数，设为|x|只，设13克砝码是|y|只，得出有

x＝9+13k y＝−6−9k

即k的值，再根据实际情况分三种情况进行讨论，得出最少用的砝码个数．

本题考点：应用类问题．

考点点评：此题主要考查了应用类问题，解题的关键是读懂题意，列出等量关系，再分三种情况讨论，不要漏解．