题目

设x2+y2-2(k-1)x-6ky-2k3+10k2-2k+1=0(k∈N*)是圆C的方程
（1）对于任意k∈N*,是否存在与圆C都相交的直线,若存在,求出一条这样的直线方程；若不存在,请说明理由；
（2）是否存在k1∈N*使得圆C1过原点,若存在,求出这个圆的方程；若不存在,请说明理由

提问时间：2021-04-01

答案

(1),原方程化为:
[x-(k-1)]^2+(y-3k)^2=2k^3
所以 圆心坐标为(k-1,3k) ,半径的平方r^2=2k^3
令k=1,此时圆心坐标(0,3) 半径为 根号2 此时圆过点(1,4)
现在考察点(1,4) 将其代入原方程 得 f(k)=17-2k+2-24k-2k^3+10k^2-2k+1
化简得 f(k)=-2k^3+10k^2-28k+20
显然,对于任何正整数k,f(k)都小于等于0,
也就是说点(1,4)始终在这些圆的里面
所以答案可以是 过点(1,4)的任意一条直线 但是这条直线不能与k=1时候的圆相切,即斜率不能为-1.
(2),由于圆心为(k-1,3k),到原点的距离为d=根号[(k-1)^2+(3k)^2]=10k^2-2k+1
满足d^2=r^2即可
即求方程 2k^3=10k^2-2k+1 的整数解.
当然,答案是没有整数解啦~~~
所以 第二问的答案就是 不存在~~~~
兄弟 不给分的话不厚道啊! 这些符号我打得要死啦~~!