题目

直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1．

（1）求直线BC的解析式；
（2）直线EF：y=2x-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标，如果变化，请说明理由．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）由已知：0=-6-b，
∴b=-6，
∴AB：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
OC=

OB

3

=2，
∴C（-2，0），
设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；

6=0•a+c 0=-2a+c

，
解得：

a=3 c=6

，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6；
（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_△FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
∴△NFD≌△EDM，
∴FN=ME．
联立得

y=2x-k y=-x+6

，解得yE=-

1

3

k+4，
联立

y=2x-k y=3x+6

，解得yF=-3k-12，
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴3k+12=-

1

3

k+4，
∴k=-2.4；
当k=-2.4时 存在直线EF：y=2x-2.4，使得S_△EBD=S_△FBD；
（3）K点的位置不发生变化，K（0，-6）．
过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
∴△BOP≌△HPQ，
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）．

（1）设BC的解析式是Y=ax+c，有直线AB：y=-x-b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，有题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，联立直线AB：y=-x-b和y=2x-k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；
（3）不变化，过Q作QH⊥x轴于H，首先证明△BOP≌△HPQ，再分别证明△AHQ和△AOK为等腰直角三角形，问题得解．

本题考点：一次函数综合题．

考点点评：此题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确求解析式以及借助于函数图象全面的分析问题．