题目

勾股定理是通过什么几何图形证明的

提问时间：2021-04-01

答案

几何原本证明：

设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.
其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.
画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.
分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.
∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.
因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须全等于△FBC.
因为 A 与 K 和 L在同一直线上,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.
因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = (AB)².
同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH =(AC)².
把这两个结果相加,(AB)²+(AC)² = BD×BK + KL×KC
由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此(AB)² + (AC)² =(BC)².
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的.