题目

若二次项系数为a的二次函数f(x)同时满足如下三个条件,求f(x)的解析式,①f(3－x)＝f(x);②f(1)＝0;
③对任意实数x,都有f(x)≥1/4a-1/2恒成立.第③的a是在分母上.

提问时间：2021-04-01

答案

设f(x)=ax^2+bx+c,f(3-x)=f(x),即bx=(-6a-b)x+9a+3b
所以 9a+3b=0
b=-6a-b
又f(1)=0,即a+b+c=0
由③知,f(x)有最大值,即a>0,其顶点（-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
联合解出 a=1,b=-3,c=2