题目

已知数列{an}中，a1＝

1

2

，且当x＝

1

2

时，函数f(x)＝

1

2

anx2−an+1x取得极值．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）数列{bn}满足b1＝2，bn+1−2bn＝

1

an+1

，求{bn}的通项及前n项和S_n．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）f'（x）=anx-an+1由题意f′(12)＝0得an+1＝12an又∵a1＝12≠0所以数列{an}是公比为12的等比数列∴an＝12n（2）由（1）知an+1＝12n+1∴bn+1-2bn=2n+1两边同除以2n+1得：bn+12n+1−bn2n＝1∴bn2n＝b121+(n−1)＝n...

（1）由题意 f′(

1

2

)＝0得 an+1＝

1

2

an，再由 a1＝

1

2

≠0能求出 an＝

1

2n

．
（2）b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹两边同除以2ⁿ⁺¹得：

bn+1

2n+1

−

bn

2n

＝1，从而{

bn

2n

}为等差数列，求出b_n，根据数列的特点可知利用错位相消的方法进行求和即可．

本题考点：数列与函数的综合．

考点点评：本题考查数列的递推式和导数的运算，解题时要错位相消法的合理运用，属于中档题．