题目

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,P(x,y)是椭圆上位于第一象限的
O为坐标原点,求四边形OABP面积的最大值

提问时间：2021-04-01

答案

化椭圆方程为三角形式：x = a·cosα ,y = b·sinα ,∵P(x ,y)在第一象限 ,∴α∈(0 ,π/2)
S(OABP) = S(△OAP) + S(OBP) = (bx + ay)/2 = (ab/2)·(cosα + sinα)
而cosα + sinα = √2·sin(α + π/4),而α + π/4 ∈(π/4 ,3π/4) ,∴sin(α + π/4)最大值为1 ,∴S(OABP)max = ab·(√2/2) ,此时OP平分∠AOB