题目

锐角α、β满足α+β=3/4π,求cos²α+cos²β+√2cosαcosβ的值
1.锐角α、β满足α+β=3/4π，求cos²α+cos²β+√2cosαcosβ的值
2.已知tan(α/2)=1/4tan(β/2)，求证：tan[(β-α)/2]=3sinα/(5-3cosα)

提问时间：2021-04-01

答案

为了方便,我这里用a和b代替α、β
1、原式=cosa(cosa+√2/2cosb)+cosb(cosb+√2/2cosa)
a+b=3/4π
a=3/4π-b
cosa=cos(3/4π-b)=-√2/2cosb+√2/2sinb
代入
原式=(√2/2sinb-√2/2cosb)(√2/2sinb-√2/2cosb+√2/2cosb)+cosb(cosb+1/2sinb-1/2cosb)
=1/2sin²b-1/2sinbcosb+cosb(1/2cosb+1/2sinb)
=1/2sin²b-1/2sinbcosb+1/2cos²b+1/2sinbcosb
=1/2sin²b+1/2cos²b
=1/2
2、用万能公式,令a=α/2,b=β/2
tana=1/4tanb
tanb=4tana
左式=tan(b-a)=(tanb-tana)/(1+tanatanb)=(4tana-tana)/(1+4tan²a)=3tana/(1+4tan²a)
右式=[3×2tana/(1+tan²a)]/[5-3×(1-tan²a)/(1+tan²a)]=6tana/(5+5tan²a-3+3tan²a)
=6tana/(2+8tan²a)=3tana/(1+4tan²a)
左式=右式
证毕.