题目

已知f(x)=-ax+x^3当x=1时f(x)有极,值证明在（-1,1）时/f(x1)-f(x2)/小于等于4恒成立
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提问时间：2021-04-01

答案

f'(x)=-a+x^2
当x=1时f(x)有极值
所以f'(1)=0
a=1
f(x)=x^3-x
-1f(x1)-f(x2)=x1^3-x1-x2^3+x2
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-1)
=(x1-x2)[(x1+x2)^2-x1x2-1]
-1-1所以-2|x1-x2|<2
若x1,x2异号
不妨设-1则-10<-x1x2<1
-1所以0<=(x1+x2)^2<1
所以-1<(x1+x2)^2-x1x2-1<1
所以|(x1+x2)^2-x1x2-1|<1
|x1-x2|*|(x1+x2)^2-x1x2-1|<2
则|f(x1)-f(x2)|<=4成立
若x1,x2同号
则0<|x1+x2|<2
(x1+x2)^2<4
同号所以x1x2>0
所以0-1<-x1x2<0
所以-2<(x1+x2)^2-x1x2-1<0
所以|(x1+x2)^2-x1x2-1|<2
所以|x1-x2|*|(x1+x2)^2-x1x2-1|<4
若x1,x2有一个或2个是0
假设x1=0
(x1-x2)[(x1+x2)^2-x1x2-1]=-x2*(x2^2-1)
0<=x2^2<1
所以-1-1<-x2<1
所以-1<(x1-x2)[(x1+x2)^2-x1x2-1]<1
也符合|x1-x2|*|(x1+x2)^2-x1x2-1|<4
综上
|f(x1)-f(x2)|<=4