题目

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=a（x-2）-2 （x-2）³（a为常数）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（-6，6），问能否使f（x）的最大值为4？请说明理由．

提问时间：2021-03-31

答案

（Ⅰ）∵f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x）．
∴当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x³．
又∵f（x）为偶函数，
∴x∈[[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x³．
∴f（x）=

−ax+2x3(−1≤x≤0) ax−2x3(0≤x≤1)

．
（Ⅱ）∵f（x）为[0，1]上的增函数，
∴f′（x）=a-6x²≥0Þa≥6x²在区间[0，1]上恒成立．
∵x∈[0，1]时，6x²≤6
∴a≥6，即a∈[6，+∞）．
（Ⅲ）由f（x）为偶函数，故只需考虑x∈[0，1]，
由f′（x）=0得x=

a 6

，
由f（

a 6

）=4Þa=6，
此时x=1，
当a∈（-6，6）时，f（x）的最大值不可能为4．

（Ⅰ）先根据f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称得出f（x）=g（2-x），根据g（x）的解析式，求出f（x）在[-1，0]上的解析式；再根据f（x）为偶函数得出f（x）在[-1，0]上的解析式．
（Ⅱ）先求出f（x）在[0，1]上的导函数f′（x）=再根据其单调增可知f′（x）≥0，进而求出a的范围．
（Ⅲ）因为f（x）为偶函数，故只需考虑x∈[0，1]，根据f（x）的导函数f′（x）=0，得出x的表达式，代入函数求得x=1，进而推断函数的最大值不可能是4．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数的表示方法；函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．要利用好函数的对称性和根据导函数的性质来判断函数的单调性．