题目

高二数学 已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点,
请详细解释：
已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB＝120°求椭圆离心率的取值范围?

提问时间：2021-03-31

答案

∵当Q在Y轴上时∠AQB最大
∴Q在Y轴上时∠AQB≥120°,则∠OQA≥60°
∠OQA=60°时,b/a=1/√3,
c²=a²-b²=a²-a²/3=a²(2/3)
∴e²=2／3,e=√6/3
要使∠OQA＞60°,a不变,b要变小,c就增大
∴√6/3≤e＜1
貌似得证明Q在Y轴上时∠AQB最大
设：QA=a,QB=b,AB=c(c为常数）,∠AQB=θ
由余弦定理得
cosθ=(a^2+b^2-c^2)/2ab
当a=b时,分母取得最大值（2ab≤a^2+b^2),分子取得最小值（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)
即a=b时,cosθ最小,cosθ在（0＜θ＜π）是减函数,所以cosθ最小时,θ最大