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题目
(理)设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,TUV=Z且∀a,b,c∈T有abc∈T,∀x,y,z∈V有xyz∈V,有结论
①T,V中至少有一个关于乘法是封闭的;
②T,V中至多有一个关于乘法是封闭的;
③T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的;  
④T,V中每一个关于乘法都是封闭的.
其中结论恒成立的是______.

提问时间:2021-03-31

答案
因为TUV=Z,故必有1∈T或1∈V,
不妨设1∈T,则令c=1,
依题意对∀a,b∈T,有ab∈T,
从而T关于乘法是封闭的;
同理当1∈V时,可得V关于乘法是封闭的;
故①T,V中至少有一个关于乘法是封闭的是恒成立的;
若T={奇数},V={偶数},显然两者都关于乘法是封闭,故②T,V中至多有一个关于乘法是封闭的及③T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的,均不恒成立;
取T=N,则V为所有负整数组成的集合,显然T关于乘法是封闭的,但V显然是关于乘法是不封闭的,如(-1)×(-2)=2∉V,故④也不是恒成立的
故答案为:①.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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