题目

电荷密度与表面曲率
怎样理解“电荷在导体表面的分布与导体表面的弯曲程度有关”?为什么会这样?
静电场方程具体是怎么算的?

提问时间：2021-03-31

答案

导体表面有电荷堆积时,电荷密度与导体表面的形状有关.在凹的部位电荷密度接近零,在平缓的部位小,在尖的部位最大.当电荷密度达到一定的量值后,电荷产生的电场会很大,以至于把空气击穿（电离）,空气中的与导体带电相反的离子会与导体的电荷中和,出现放电火花,并能听到放电声.
有一个简单的计算有助于理解向外弯曲的表面越弯曲（亦即相应的曲率半径越小）该表面的电荷密度越大：
大小两个金属球半径分别为R与r；两球用一根导线相连,所以两球等电势；设两球表面的电荷量分别是Q与q、电荷密度分别是A与a.
对于均匀带电的导体球,其电势公式可由高斯定理以及电势能与电势的定义式、还有功的积分计算得到一个简单的形式——大球的电势U=kQ/R,小球的电势u=kq/r；A=Q/(4πRR),a=q/(4πrr),U=u；所以,k(4πRR)A/R=k(4πrr)a/r,即AR=ar——球越小（其表面越弯曲）,它的电荷面密度越大.
至于严格的证明涉及高等数学（主要是关于二阶偏微分方程——拉普拉斯方程的求解问题）,我也不太清楚.