题目

设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是（　　）
A. A与BC独立
B. AB与A∪C独立
C. AB与AC独立
D. A∪B与A∪C独立

提问时间：2021-03-30

答案

A、B、C事件相互独立等价于：
P（ABC）=p（A）P（BC）=p（B）P（AC）=P（C）P（AB）=P（A）P（B）P（C）；    （1）
A、B、C事件两两独立等价于：
P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；             （2）
必要性：证明A、B、C事件相互独立可以推出两两独立，即证明（1）⇒（2）．
因为：A、B、C事件相互独立：
所以有：P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；  
故必要性成立．           
充分性：证明A、B、C事件两两独立可以推出两两独立，即证明（2）⇒（1）．
因为：A、B、C事件两两独立：
所以：P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；  
而：A、B、C三事件相互独立需要满足：P（ABC）=p（A）P（BC）=p（B）P（AC）=P（C）P（AB）=P（A）P（B）P（C）；
因此需要增加一条件使得P（ABC）=P（A）P（B）P（C）；
A选项：A与BC独立：即P（A（BC））=P（A）P（BC），
又由于P（BC）=P（B）P（C），
所以：P（A（BC））=P（A）P（BC）=P（A）P（B）P（C）；
故当A与BC独立时，充分性成立．
其它三个选项都无法推出P（ABC）=P（A）P（B）P（C）；
故选：A．